📈 Rendements & Taux de croissance

Cette page couvre les fondements mathématiques des rendements d'investissement — comment mesurer, comparer et annualiser les taux de croissance. Ces concepts sont utilisés dans l'ensemble des outils de mesure et des analyses de portefeuille de LibreFolio.

📊 Rendement Simple (Discret)

Le rendement simple sur une période est la variation en pourcentage :

\[ R_{simple} = \frac{P_{end} - P_{start}}{P_{start}} = \frac{P_{end}}{P_{start}} - 1 \]

Example

Si l'EUR/USD passe de 1,10 à 1,14 :

\[R = \frac{1.14 - 1.10}{1.10} = 0.0364 = 3.64\%\]

📊 Propriétés

Intuitif : représente directement le montant gagné ou perdu
Non additif : on ne peut pas simplement sommer les rendements simples sur plusieurs périodes pour obtenir le rendement total
Composition : les rendements multi-périodes doivent être multipliés, et non additionnés

\[ R_{total} = (1 + R_1)(1 + R_2) \cdots (1 + R_n) - 1 \]

📐 Rendement Logarithmique (Continu)

Le rendement logarithmique est le logarithme naturel du ratio des prix :

\[ r_{log} = \ln\left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right) = \ln(P_{end}) - \ln(P_{start}) \]

📊 Propriétés

Additif dans le temps : rendement logarithmique total = somme des rendements logarithmiques des sous-périodes

\[ r_{total} = r_1 + r_2 + \cdots + r_n \]

Symétrique : une hausse de +5 % suivie d'une baisse de −5 % revient exactement au point de départ
Approximativement égal au rendement simple pour les petites valeurs : \(r_{log} \approx R_{simple}\) lorsque \(R_{simple}\) est faible

🔄 Conversion

\[ r_{log} = \ln(1 + R_{simple}) \qquad R_{simple} = e^{r_{log}} - 1 \]

📅 Rendement Annualisé

Pour comparer des rendements sur différentes périodes, nous les annualisons — en projetant le taux de croissance observé sur une année complète.

📈 Taux de Croissance Annuel Composé (CAGR)

La méthode d'annualisation la plus courante. Étant donné un rendement total sur \(d\) jours calendaires :

\[ R_{annual} = \left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right)^{365/d} - 1 \]

C'est ce que l'outil Measures de LibreFolio affiche.

Example

L'EUR/USD passe de 1,10 à 1,14 sur 90 jours :

\[R_{annual} = \left(\frac{1.14}{1.10}\right)^{365/90} - 1 = (1.0364)^{4.056} - 1 \approx 15.5\%\]

📐 Rendement Logarithmique Annualisé

Pour les rendements logarithmiques, l'annualisation est simplement une mise à l'échelle :

\[ r_{annual} = r_{log} \times \frac{365}{d} \]

Cette linéarité est l'un des avantages clés des rendements logarithmiques en finance quantitative.

🔄 Relation Entre Rendements Simples et Logarithmiques

Propriété	Rendement Simple \(R\)	Rendement Logarithmique \(r\)
Composition	Multiplicative : \((1+R_1)(1+R_2)\)	Additive : \(r_1 + r_2\)
Symétrie	Asymétrique : +10% puis −10% ≠ 0	Symétrique : +10% puis −10% = 0
Annualisation	\((1+R)^{365/d} - 1\)	\(r \times 365/d\)
Rendements de portefeuille	La somme pondérée fonctionne ✅	La somme pondérée ne fonctionne pas ❌
Séries temporelles	Non additif ❌	Additif ✅
Interprétation	« J'ai gagné 5 % »	« Le taux de croissance log était de 0,0488 »

Lequel utiliser ?

Rendements simples pour le reporting aux utilisateurs et le calcul des rendements au niveau du portefeuille
Rendements logarithmiques pour l'analyse statistique, l'estimation de la volatilité et les modèles de séries temporelles

📏 Conventions de Comptage des Jours

Le nombre de jours \(d\) peut être calculé différemment selon la convention :

Actual/365 : Jours calendaires (ce que LibreFolio utilise)
Actual/360 : Jours calendaires sur une année de 360 jours (courant sur les marchés monétaires)
30/360 : Suppose des mois de 30 jours et une année de 360 jours

Pour plus de détails, voir Conventions de comptage des jours.

⚠️ Pièges

Périodes très courtes : Annualiser un rendement sur 3 jours peut produire des chiffres trompeurs (ex: une variation de 0,1 % sur 3 jours → 12,5 % annualisé)
Prix négatifs : Les rendements logarithmiques ne sont pas définis pour les valeurs négatives — ce n'est pas un problème pour les taux de change
Fréquence de composition : Le CAGR suppose une composition continue ; les instruments réels peuvent composer quotidiennement, mensuellement ou trimestriellement