📏 Bandes de Bollinger
Les Bandes de Bollinger mesurent dynamiquement la volatilité et tracent une « barrière de normalité » adaptative autour du prix.
💡 Signification Financière
Lorsque les bandes sont larges, le marché est volatil ; lorsqu'elles se resserrent (squeeze), une cassure est imminente. Un prix touchant la bande supérieure signale une exubérance statistique ; un prix touchant la bande inférieure signale une baisse anormale.
🔢 Formules Mathématiques
- Bande Centrale (valeur attendue) :
$$ MB_t = SMA_N(C_t) $$
- Écart-type des prix sur la fenêtre :
$$ \sigma_t = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=0}^{N-1} (C_{t-i} - MB_t)^2} $$
- Bandes Supérieure et Inférieure :
$$ Upper_t = MB_t + k \cdot \sigma_t, \qquad Lower_t = MB_t - k \cdot \sigma_t $$
Avec \(k = 2\), si les rendements étaient distribués normalement, le prix resterait à l'intérieur des bandes environ 95,4 % du temps. En pratique, les rendements financiers présentent des queues épaisses (leptokurtosis), donc les franchissements sont plus fréquents — mais restent statistiquement significatifs.
⚙️ Paramètres
| Paramètre | Clé | Valeur par défaut | Description |
|---|---|---|---|
| Période (\(N\)) | period |
20 | Fenêtre SMA pour la valeur attendue. |
| Multiplicateur (\(k\)) | multiplier |
2 | Nombre d'écarts-types. |
🎛️ Équivalent en Traitement du Signal — Suiveur d'Intervalle de Confiance Adaptatif
La Bande Centrale est un filtre à moyenne mobile FIR (Finite Impulse Response) — le filtre passe-bas le plus simple avec une fenêtre rectangulaire de longueur \(N\). Les bandes ajoutent une enveloppe variant dans le temps à \(\pm k\sigma\), ce qui est essentiellement une estimation glissante de la variance instantanée du signal.
Dans le langage des filtres adaptatifs, il s'agit d'un suiveur de valeur attendue avec un intervalle de confiance adaptatif. Lorsque la variance \(\sigma^2\) chute (le « Bollinger Squeeze »), le système est dans un état de faible entropie. Dans les systèmes chaotiques comme les marchés financiers, les périodes de faible entropie sont systématiquement suivies d'explosions à haute entropie (haute volatilité) — faisant du squeeze l'une des configurations les plus surveillées en analyse technique.
FIR vs IIR
Contrairement à l'EMA (IIR, un pôle), la SMA est un filtre FIR avec un retard de groupe parfaitement plat de \((N-1)/2\) échantillons. Elle sacrifie une bande de transition plus large au profit d'une absence de distorsion de phase — idéal pour centrer l'enveloppe de confiance.