📈 Rendimenti e Tassi di Crescita

Questa pagina tratta le basi matematiche dei rendimenti degli investimenti: come misurare, confrontare e annualizzare i tassi di crescita. Questi concetti sono utilizzati in tutti gli strumenti di misurazione e nelle analisi di portafoglio di LibreFolio.

📊 Rendimento Semplice (Discreto)

Il rendimento semplice in un periodo è la variazione percentuale:

\[ R_{simple} = \frac{P_{end} - P_{start}}{P_{start}} = \frac{P_{end}}{P_{start}} - 1 \]

Example

Se EUR/USD passa da 1.10 a 1.14:

\[R = \frac{1.14 - 1.10}{1.10} = 0.0364 = 3.64\%\]

📊 Proprietà

Intuitivo: rappresenta direttamente "quanto si è guadagnato/perso"
Non additivo: non è possibile sommare semplicemente i rendimenti semplici tra diversi periodi per ottenere il rendimento totale
Capitalizzazione: i rendimenti multi-periodo devono essere moltiplicati, non sommati

\[ R_{total} = (1 + R_1)(1 + R_2) \cdots (1 + R_n) - 1 \]

📐 Rendimento Logaritmico (Continuo)

Il rendimento logaritmico è il logaritmo naturale del rapporto tra i prezzi:

\[ r_{log} = \ln\left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right) = \ln(P_{end}) - \ln(P_{start}) \]

📊 Proprietà

Additivo nel tempo: il rendimento logaritmico totale = somma dei rendimenti logaritmici dei sotto-periodi

\[ r_{total} = r_1 + r_2 + \cdots + r_n \]

Simmetrico: un movimento del +5% seguito da un movimento del −5% riporta esattamente al punto di partenza
Approssimativamente uguale al rendimento semplice per valori piccoli: \(r_{log} \approx R_{simple}\) quando \(R_{simple}\) è piccolo

🔄 Conversione

\[ r_{log} = \ln(1 + R_{simple}) \qquad R_{simple} = e^{r_{log}} - 1 \]

📅 Rendimento Annualizzato

Per confrontare i rendimenti in periodi di tempo differenti, li annualizziamo, proiettando il tasso di crescita osservato su un anno intero.

📈 Tasso di Crescita Annuale Composto (CAGR)

Il metodo di annualizzazione più comune. Dato un rendimento totale su \(d\) giorni solari:

\[ R_{annual} = \left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right)^{365/d} - 1 \]

Questo è ciò che visualizza lo strumento Measures di LibreFolio.

Example

EUR/USD passa da 1.10 a 1.14 in 90 giorni:

\[R_{annual} = \left(\frac{1.14}{1.10}\right)^{365/90} - 1 = (1.0364)^{4.056} - 1 \approx 15.5\%\]

📐 Rendimento Logaritmico Annualizzato

Per i rendimenti logaritmici, l'annualizzazione è una semplice scalatura:

\[ r_{annual} = r_{log} \times \frac{365}{d} \]

Questa linearità è uno dei vantaggi chiave dei rendimenti logaritmici nella finanza quantitativa.

🔄 Relazione tra Rendimenti Semplici e Logaritmici

Proprietà	Rendimento Semplice \(R\)	Rendimento Logaritmico \(r\)
Capitalizzazione	Moltiplicativa: \((1+R_1)(1+R_2)\)	Additiva: \(r_1 + r_2\)
Simmetria	Asimmetrica: +10% seguito da −10% ≠ 0	Simmetrica: +10% seguito da −10% = 0
Annualizzazione	\((1+R)^{365/d} - 1\)	\(r \times 365/d\)
Rendimenti di portafoglio	La somma ponderata funziona ✅	La somma ponderata non funziona ❌
Serie temporali	Non additiva ❌	Additiva ✅
Interpretazione	"Ho guadagnato il 5%"	"Il tasso di crescita logaritmico era 0.0488"

Quale usare?

Rendimenti semplici per il reporting agli utenti e per il calcolo dei rendimenti a livello di portafoglio
Rendimenti logaritmici per l'analisi statistica, la stima della volatilità e i modelli di serie temporali

📏 Convenzioni di calcolo dei giorni (Day Count Conventions)

Il numero di giorni \(d\) può essere calcolato diversamente a seconda della convenzione:

Actual/365: Giorni solari (utilizzato da LibreFolio)
Actual/360: Giorni solari su un anno di 360 giorni (comune nei mercati monetari)
30/360: Ipotizza mesi di 30 giorni e un anno di 360 giorni

Per ulteriori dettagli, consultare Day Count Conventions.

⚠️ Insidie

Periodi molto brevi: Annualizzare un rendimento di 3 giorni può produrre cifre fuorvianti (es. un movimento dello 0,1% in 3 giorni \(\rightarrow\) 12,5% annualizzato)
Prezzi negativi: I rendimenti logaritmici non sono definiti per valori negativi — non è un problema per i tassi di cambio
Frequenza di capitalizzazione: Il CAGR presuppone una capitalizzazione continua; gli strumenti del mondo reale possono prevedere una capitalizzazione giornaliera, mensile o trimestrale