📈 Retornos y Tasas de Crecimiento

Esta página cubre los fundamentos matemáticos de los retornos de inversión: cómo medir, comparar y anualizar las tasas de crecimiento. Estos conceptos se utilizan en todas las herramientas de medición y análisis de cartera de LibreFolio.

📊 Retorno Simple (Discreto)

El retorno simple durante un período es el cambio porcentual:

\[ R_{simple} = \frac{P_{end} - P_{start}}{P_{start}} = \frac{P_{end}}{P_{start}} - 1 \]

Example

Si el EUR/USD se mueve de 1.10 a 1.14:

\[R = \frac{1.14 - 1.10}{1.10} = 0.0364 = 3.64\%\]

📊 Propiedades

Intuitivo: representa directamente la ganancia o pérdida
No es aditivo: no se pueden sumar simplemente los retornos simples de varios períodos para obtener el retorno total
Capitalización: los retornos de múltiples períodos deben multiplicarse, no sumarse

\[ R_{total} = (1 + R_1)(1 + R_2) \cdots (1 + R_n) - 1 \]

📐 Retorno Logarítmico (Continuo)

El retorno logarítmico es el logaritmo natural de la relación de precios:

\[ r_{log} = \ln\left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right) = \ln(P_{end}) - \ln(P_{start}) \]

📊 Propiedades

Aditivo en el tiempo: el retorno logarítmico total = la suma de los retornos logarítmicos de los subperíodos

\[ r_{total} = r_1 + r_2 + \cdots + r_n \]

Simétrico: un movimiento de +5% seguido de un movimiento de −5% regresa exactamente al punto de partida
Aproximadamente igual al retorno simple para valores pequeños: \(r_{log} \approx R_{simple}\) cuando \(R_{simple}\) es pequeño

🔄 Conversión

\[ r_{log} = \ln(1 + R_{simple}) \qquad R_{simple} = e^{r_{log}} - 1 \]

📅 Retorno Anualizado

Para comparar retornos en diferentes períodos de tiempo, los anualizamos, proyectando la tasa de crecimiento observada a un año completo.

📈 Tasa de Crecimiento Anual Compuesta (CAGR)

El método de anualización más común. Dado un retorno total durante \(d\) días naturales:

\[ R_{annual} = \left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right)^{365/d} - 1 \]

Esto es lo que muestra la herramienta de Métricas de LibreFolio.

Example

El EUR/USD se mueve de 1.10 a 1.14 en 90 días:

\[R_{annual} = \left(\frac{1.14}{1.10}\right)^{365/90} - 1 = (1.0364)^{4.056} - 1 \approx 15.5\%\]

📐 Retorno Logarítmico Anualizado

Para los retornos logarítmicos, la anualización es simplemente un escalado:

\[ r_{annual} = r_{log} \times \frac{365}{d} \]

Esta linealidad es una de las ventajas clave de los retornos logarítmicos en las finanzas cuantitativas.

🔄 Relación Entre Retornos Simples y Logarítmicos

Propiedad	Retorno Simple \(R\)	Retorno Logarítmico \(r\)
Capitalización	Multiplicativa: \((1+R_1)(1+R_2)\)	Aditiva: \(r_1 + r_2\)
Simetría	Asimétrica: +10% luego −10% ≠ 0	Simétrica: +10% luego −10% = 0
Anualización	\((1+R)^{365/d} - 1\)	\(r \times 365/d\)
Retornos de cartera	La suma ponderada funciona ✅	La suma ponderada no funciona ❌
Series temporales	No es aditiva ❌	Aditiva ✅
Interpretación	"Gané un 5%"	"La tasa de crecimiento logarítmico fue 0.0488"

¿Cuándo usar cuál?

Retornos simples para reportes a usuarios y para calcular retornos a nivel de cartera
Retornos logarítmicos para análisis estadísticos, estimación de volatilidad y modelos de series temporales

📏 Convenciones de Recuento de Días

El número de días \(d\) puede calcularse de manera diferente según la convención:

Actual/365: Días naturales (lo que utiliza LibreFolio)
Actual/360: Días naturales sobre un año de 360 días (común en los mercados monetarios)
30/360: Asume meses de 30 días y un año de 360 días

Para más detalles, consulte Convenciones de Recuento de Días.

⚠️ Riesgos y errores comunes

Períodos muy cortos: Anualizar un retorno de 3 días puede producir cifras engañosas (por ejemplo, un movimiento de 0.1% en 3 días \(\rightarrow\) 12.5% anualizado)
Precios negativos: Los retornos logarítmicos no están definidos para valores negativos; esto no es un problema para los tipos de cambio de FX
Frecuencia de capitalización: El CAGR asume una capitalización continua; los instrumentos del mundo real pueden capitalizar diaria, mensual o trimestralmente