📈 Rendimenti e Tassi di Crescita

Questa pagina tratta le basi matematiche dei rendimenti di investimento — come misurare, confrontare e annualizzare i tassi di crescita. Questi concetti sono utilizzati in tutti gli strumenti di misurazione FX e nell'analisi del portafoglio di LibreFolio.

📊 Rendimento Semplice (Discreto)

Il rendimento semplice in un periodo è la variazione percentuale:

\[ R_{semplice} = \frac{P_{fine} - P_{inizio}}{P_{inizio}} = \frac{P_{fine}}{P_{inizio}} - 1 \]

Esempio

Se EUR/USD si muove da 1.10 a 1.14:

\[R = \frac{1.14 - 1.10}{1.10} = 0.0364 = 3.64\%\]

📊 Proprietà

Intuitivo: rappresenta direttamente "l'ammontare del guadagno/perdita"
Non additivo: non puoi semplicemente sommare i rendimenti semplici tra i periodi per ottenere il rendimento totale
Composizione: i rendimenti multi-periodo devono essere moltiplicati, non sommati

\[ R_{totale} = (1 + R_1)(1 + R_2) \cdots (1 + R_n) - 1 \]

📐 Rendimento Logaritmico (Continuo)

Il rendimento logaritmico è il logaritmo naturale del rapporto tra prezzi:

\[ r_{log} = \ln\left(\frac{P_{fine}}{P_{inizio}}\right) = \ln(P_{fine}) - \ln(P_{inizio}) \]

📊 Proprietà

Additivo nel tempo: il rendimento logaritmico totale = somma dei rendimenti logaritmici dei sotto-periodi

\[ r_{totale} = r_1 + r_2 + \cdots + r_n \]

Simmetrico: un movimento +5% seguito da −5% riporta esattamente al punto di partenza
Approssimativamente uguale al rendimento semplice per valori piccoli: \(r_{log} \approx R_{semplice}\) quando \(R_{semplice}\) è piccolo

🔄 Conversione

\[ r_{log} = \ln(1 + R_{semplice}) \qquad R_{semplice} = e^{r_{log}} - 1 \]

📅 Rendimento Annualizzato

Per confrontare rendimenti su periodi diversi, li annualizziamo — proiettando il tasso di crescita osservato su un anno intero.

📈 Compound Annual Growth Rate (CAGR)

Il metodo di annualizzazione più comune. Dato un rendimento totale su \(d\) giorni di calendario:

\[ R_{annuale} = \left(\frac{P_{fine}}{P_{inizio}}\right)^{365/d} - 1 \]

Questo è ciò che lo strumento Misurazioni di LibreFolio visualizza.

Esempio

EUR/USD si muove da 1.10 a 1.14 in 90 giorni:

\[R_{annuale} = \left(\frac{1.14}{1.10}\right)^{365/90} - 1 = (1.0364)^{4.056} - 1 \approx 15.5\%\]

📐 Rendimento Logaritmico Annualizzato

Per i rendimenti logaritmici, l'annualizzazione è semplicemente una scala:

\[ r_{annuale} = r_{log} \times \frac{365}{d} \]

Questa linearità è uno dei principali vantaggi dei rendimenti logaritmici nella finanza quantitativa.

🔄 Relazione tra Rendimento Semplice e Logaritmico

Proprietà	Rendimento Semplice \(R\)	Rendimento Logaritmico \(r\)
Composizione	Moltiplicativo: \((1+R_1)(1+R_2)\)	Additivo: \(r_1 + r_2\)
Simmetria	Asimmetrico: +10% poi −10% ≠ 0	Simmetrico: +10% poi −10% = 0
Annualizzazione	\((1+R)^{365/d} - 1\)	\(r \times 365/d\)
Rendimenti di portafoglio	La somma pesata funziona ✅	La somma pesata non funziona ❌
Serie temporali	Non additivo ❌	Additivo ✅
Interpretazione	"Ho guadagnato il 5%"	"Il tasso di crescita logaritmica era 0.0488"

Quando usare l'uno o l'altro?

Rendimenti semplici per la reportistica agli utenti e il calcolo dei rendimenti a livello di portafoglio
Rendimenti logaritmici per l'analisi statistica, la stima della volatilità e i modelli di serie temporali

📏 Convenzioni di Conteggio dei Giorni

Il numero di giorni \(d\) può essere calcolato in modo diverso a seconda della convenzione:

Actual/365: giorni di calendario (quello che usa LibreFolio)
Actual/360: giorni di calendario su un anno di 360 giorni (comune nei mercati monetari)
30/360: presume mesi di 30 giorni e anno di 360 giorni

Per maggiori dettagli, vedere Convenzioni di Conteggio dei Giorni.

⚠️ Insidie

Periodi molto brevi: annualizzare un rendimento di 3 giorni può produrre figure ingannevoli (es. un movimento dello 0.1% in 3 giorni → 12.5% annualizzato)
Prezzi negativi: i rendimenti logaritmici sono indefiniti per valori negativi — non un problema per i tassi di cambio
Frequenza di composizione: il CAGR presume composizione continua; gli strumenti reali possono comporsi giornalmente, mensilmente o trimestralmente