📈 Rendements et taux de croissance

Cette page couvre les fondements mathématiques des rendements d'investissement — comment mesurer, comparer et annualiser les taux de croissance. Ces concepts sont utilisés dans les outils de mesure des taux de change de LibreFolio et dans l'analyse de portefeuille.

📊 Rendement simple (discret)

Le rendement simple sur une période est le changement en pourcentage :

\[ R_{simple} = \frac{P_{end} - P_{start}}{P_{start}} = \frac{P_{end}}{P_{start}} - 1 \]

Exemple

Si EUR/USD passe de 1,10 à 1,14 :

\[R = \frac{1,14 - 1,10}{1,10} = 0,0364 = 3,64\%\]

📊 Propriétés

Intuitif : représente directement "combien vous avez gagné/perdu"
Non additif : on ne peut pas simplement additionner les rendements simples sur plusieurs périodes pour obtenir le rendement total
Composition : les rendements sur plusieurs périodes doivent être multipliés, et non additionnés

\[ R_{total} = (1 + R_1)(1 + R_2) \cdots (1 + R_n) - 1 \]

📐 Rendement logarithmique (continu)

Le rendement logarithmique est le logarithme naturel du rapport des prix :

\[ r_{log} = \ln\left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right) = \ln(P_{end}) - \ln(P_{start}) \]

📊 Propriétés

Additif dans le temps : le rendement logarithmique total est la somme des rendements logarithmiques des sous-périodes

\[ r_{total} = r_1 + r_2 + \cdots + r_n \]

Symétrique : un mouvement de +5% suivi d'un mouvement de −5% ramène exactement au point de départ
Approximativement égal au rendement simple pour les petites valeurs : \(r_{log} \approx R_{simple}\) lorsque \(R_{simple}\) est faible

🔄 Conversion

\[ r_{log} = \ln(1 + R_{simple}) \qquad R_{simple} = e^{r_{log}} - 1 \]

📅 Rendement annualisé

Pour comparer les rendements sur différentes périodes, nous les annualisons — en projetant le taux de croissance observé sur une année complète.

📈 Taux de croissance annuel composé (TCAC)

La méthode d'annualisation la plus courante. Étant donné un rendement total sur \(d\) jours calendaires :

\[ R_{annual} = \left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right)^{365/d} - 1 \]

C'est ce que l'outil Mesures de LibreFolio affiche.

Exemple

EUR/USD passe de 1,10 à 1,14 sur 90 jours :

\[R_{annual} = \left(\frac{1,14}{1,10}\right)^{365/90} - 1 = (1,0364)^{4,056} - 1 \approx 15,5\%\]

📐 Rendement logarithmique annualisé

Pour les rendements logarithmiques, l'annualisation est simplement un ajustement d'échelle :

\[ r_{annual} = r_{log} \times \frac{365}{d} \]

Cette linéarité est l'un des avantages clés des rendements logarithmiques en finance quantitative.

🔄 Relation entre les rendements simples et logarithmiques

Propriété	Rendement simple \(R\)	Rendement logarithmique \(r\)
Composition	Multiplicatif : \((1+R_1)(1+R_2)\)	Additif : \(r_1 + r_2\)
Symétrie	Asymétrique : +10% puis −10% ≠ 0	Symétrique : +10% puis −10% = 0
Annualisation	\((1+R)^{365/d} - 1\)	\(r \times 365/d\)
Rendements de portefeuille	La somme pondérée fonctionne ✅	La somme pondérée ne fonctionne pas ❌
Série temporelle	Non additif ❌	Additif ✅
Interprétation	"J'ai gagné 5%"	"Le taux de croissance logarithmique était de 0,0488"

Quand utiliser l'un ou l'autre ?

Rendements simples pour les rapports aux utilisateurs et le calcul des rendements au niveau du portefeuille
Rendements logarithmiques pour l'analyse statistique, l'estimation de la volatilité et les modèles de séries temporelles

📏 Conventions de décompte des jours

Le nombre de jours \(d\) peut être calculé différemment selon la convention :

Réel/365 : jours calendaires (ce qu'utilise LibreFolio)
Réel/360 : jours calendaires sur une année de 360 jours (courant sur les marchés monétaires)
30/360 : suppose des mois de 30 jours et une année de 360 jours

Pour plus de détails, voir Conventions de décompte des jours.

⚠️ Pièges

Périodes très courtes : annualiser un rendement de 3 jours peut produire des chiffres trompeurs (par exemple, un mouvement de 0,1% sur 3 jours → 12,5% annualisé)
Prix négatifs : les rendements logarithmiques ne sont pas définis pour des valeurs négatives — pas un problème pour les taux de change
Fréquence de composition : le TCAC suppose une composition continue ; les instruments réels peuvent être composés quotidiennement, mensuellement ou trimestriellement