📈 Rendimientos y Tasas de Crecimiento

Esta página cubre los fundamentos matemáticos de los rendimientos de inversión — cómo medirlos, compararlos y anualizar las tasas de crecimiento. Estos conceptos se utilizan en todas las herramientas de medición FX y el análisis de carteras de LibreFolio.

📊 Rendimiento Simple (Discreto)

El rendimiento simple durante un período es el cambio porcentual:

\[ R_{simple} = \frac{P_{final} - P_{inicial}}{P_{inicial}} = \frac{P_{final}}{P_{inicial}} - 1 \]

Example

Si EUR/USD pasa de 1.10 a 1.14:

\[R = \frac{1.14 - 1.10}{1.10} = 0.0364 = 3.64\%\]

📊 Propiedades

Intuitivo: representa directamente "cuánto ganó/perdió"
No es aditivo: no se pueden sumar simplemente los rendimientos simples de varios períodos para obtener el rendimiento total
Capitalización: los rendimientos de múltiples períodos deben multiplicarse, no sumarse

\[ R_{total} = (1 + R_1)(1 + R_2) \cdots (1 + R_n) - 1 \]

📐 Rendimiento Logarítmico (Continuo)

El rendimiento logarítmico es el logaritmo natural del ratio de precios:

\[ r_{log} = \ln\left(\frac{P_{final}}{P_{inicial}}\right) = \ln(P_{final}) - \ln(P_{inicial}) \]

📊 Propiedades

Aditivo en el tiempo: el rendimiento logarítmico total = suma de los rendimientos logarítmicos de subperíodos

\[ r_{total} = r_1 + r_2 + \cdots + r_n \]

Simétrico: un movimiento de +5% seguido de −5% regresa exactamente al punto de partida
Aproximadamente igual al rendimiento simple para valores pequeños: \(r_{log} \approx R_{simple}\) cuando \(R_{simple}\) es pequeño

🔄 Conversión

\[ r_{log} = \ln(1 + R_{simple}) \qquad R_{simple} = e^{r_{log}} - 1 \]

📅 Rendimiento Anualizado

Para comparar rendimientos de diferentes períodos, los anualizamos — proyectando la tasa de crecimiento observada a un año completo.

📈 Tasa de Crecimiento Anual Compuesta (CAGR)

El método de annualización más común. Dado un rendimiento total durante \(d\) días naturales:

\[ R_{annual} = \left(\frac{P_{final}}{P_{inicial}}\right)^{365/d} - 1 \]

Esto es lo que muestra la herramienta Medidas de LibreFolio.

Example

EUR/USD pasa de 1.10 a 1.14 en 90 días:

\[R_{annual} = \left(\frac{1.14}{1.10}\right)^{365/90} - 1 = (1.0364)^{4.056} - 1 \approx 15.5\%\]

📐 Rendimiento Logarítmico Anualizado

Para rendimientos logarítmicos, la anualización es simplemente un escalado:

\[ r_{annual} = r_{log} \times \frac{365}{d} \]

Esta linealidad es una de las ventajas clave de los rendimientos logarítmicos en finanzas cuantitativas.

🔄 Relación entre Rendimiento Simple y Logarítmico

Propiedad	Rendimiento Simple \(R\)	Rendimiento Logarítmico \(r\)
Capitalización	Multiplicativo: \((1+R_1)(1+R_2)\)	Aditivo: \(r_1 + r_2\)
Simetría	Asimétrico: +10% luego −10% ≠ 0	Simétrico: +10% luego −10% = 0
Anualización	\((1+R)^{365/d} - 1\)	\(r \times 365/d\)
Rendimientos de cartera	La suma ponderada funciona ✅	La suma ponderada no funciona ❌
Series temporales	No aditivo ❌	Aditivo ✅
Interpretación	"Gané un 5%"	"La tasa de crecimiento logarítmica fue 0.0488"

¿Qué rendimiento usar en cada caso?

Rendimientos simples para informar a usuarios y calcular rendimientos a nivel de cartera
Rendimientos logarítmicos para análisis estadístico, estimación de volatilidad y modelos de series temporales

📏 Convenciones de Conteo de Días

El número de días \(d\) puede calcularse de forma diferente según la convención:

Actual/365: días naturales (lo que usa LibreFolio)
Actual/360: días naturales sobre un año de 360 días (común en mercados monetarios)
30/360: asume meses de 30 días y año de 360 días

Para más detalles, ver Convenciones de Conteo de Días.

⚠️ Advertencias

Períodos muy cortos: Anualizar un rendimiento de 3 días puede producir cifras engañosas (ej. un movimiento de 0.1% en 3 días → 12.5% anualizado)
Precios negativos: los rendimientos logarítmicos no están definidos para valores negativos — no es un problema para tipos de cambio FX
Frecuencia de capitalización: CAGR asume capitalización continua; los instrumentos reales pueden capitalizar diaria, mensual o trimestralmente